Acoustique et sifflets

Le sifflet siffle ! Pour l’acousticien, ce phénomène recouvre des fonctionnements complexes et variés, quand l’organologue, le musicien, le siffleur verront des principes semblables. La description physique peut aider à comprendre la complexité acoustique de l’objet.

Nous avons procédé à l’étude d’un échantillon de vingt-six sifflets appartenant à un collectionneur privé, sélectionnés en raison de leur ressemblance avec les sifflets du MuCEM. Tous ont été mesurés, pesés, photographiés, radiographiés et enregistrés en chambre sourde (ill. 1 et 2).

Dans la chambre sourde du laboratoire du musée de la Cité de la musique. © Marie-Barbara Le Gonidec

Ill. 1 : Dans la chambre sourde du laboratoire du musée de la Cité de la musique. © Marie-Barbara Le Gonidec

Pesée d'un sifflet avant de le remplir d'eau avec la bouteille en plastique (à droite). Laboratoire du musée de la Cité de la musique. © Marie-Barbara Le Gonidec

Ill. 2 : Pesée d'un sifflet avant de le remplir d'eau avec la bouteille en plastique (à droite). Laboratoire du musée de la Cité de la musique.
© Marie-Barbara Le Gonidec

Parmi eux, quatre ont été retenus pour une étude plus approfondie car ils ont semblé synthétiser les quatre grands types qui se dégagent : l’un (no 19 - [données]) est nettement tubulaire (ill. 3), le deuxième (no 3 - [données]) montre une forme extérieure similaire à la forme intérieure (ill. 4), le troisième (no 5 - [données]) dissimule sa forme intérieure sous une complexe figure animale (ill. 5), le dernier, un sifflet à eau (no 26 - [données]), est une petite cruche (ill. 6).

sifflet n° 19. © Marie-Barbara Le Gonidec

Ill. 3 : no 19.
© Marie-Barbara Le Gonidec

sifflet n° 3. © Marie-Barbara Le Gonidec

Ill. 4 : no 3.
© Marie-Barbara Le Gonidec

sifflet n° 5. © Marie-Barbara Le Gonidec

Ill. 5 : no 5.
© Marie-Barbara Le Gonidec

sifflet n° 26. © Marie-Barbara Le Gonidec

Ill. 6 : no 26.
© Marie-Barbara Le Gonidec

Comme tout instrument de musique, le sifflet possède un système excitateur ; ici il s’agit d’un ensemble lame d’air-biseau. Le « siffleur » soufflant dans un petit conduit produit un jet d’air qui interagit avec un biseau et le reste du sifflet. C’est le même système que sur une flûte à bec (ill. 7).

Vue du système « lame d’air-biseau » sur le sifflet n° 2 photographié ici dans la position qui convient pour être mis en bouche et insufflé. © Marie-Barbara Le Gonidec

Ill. 7 : Vue du système « lame d’air-biseau » sur le sifflet no 2 photographié ici dans la position qui convient pour être mis en bouche et insufflé.
© Marie-Barbara Le Gonidec

Comme dans tous les instruments à vent, le système excitateur, ici lame d’air-biseau, interagit avec un résonateur. C’est ce système résonnant qui rapproche la plupart des sifflets d’un objet bien peu musical, le résonateur de Helmholtz (ill. 11). Dans ce cas, ce système résonnant est constitué par le volume de la cavité soigneusement cachée à l’intérieur de la figure de terre cuite. Ce volume est faible, de l’ordre de quelques centimètres cubes mais, contrairement aux flûtes où c’est essentiellement la longueur qui détermine la hauteur émise (cf. infra), c’est le rapport de deux autres paramètres dimensionnels à ce volume qui définira la hauteur sonore produite par le sifflet. En effet, très – voire trop – schématiquement, on peut distinguer deux modes de fonctionnement des résonateurs associés à des systèmes lame-d’air biseau.

Le premier mode de fonctionnement est celui des flûtes, dont la longueur et la forme du tuyau sonore définiront, au moins au premier ordre, la hauteur produite. Ainsi un tuyau de longueur donnée L produira une hauteur voisine de c/2L1, où c est la vitesse de propagation du son dans l’air. Cette hauteur sera légèrement, mais suffisamment pour que ce soit audible, modifiée par le diamètre du tuyau à ses extrémités ouvertes, on parlera de « correction de longueur2 » aux extrémités ouvertes ce qui dit bien que la longueur reste le paramètre essentiel définissant, pour la flûte, les résonances géométriques comme les multiples de c/2L. Ces résonances géométriques relient simplement la longueur de la flûte à la moitié de la longueur d’onde3 (longueur entre deux nœuds de pression acoustique, deux maximum d’intensité sonore). Une flûte à bec fonctionne donc approximativement sur les multiples de la demi-longueur d’onde, un tuyau de flûte de Pan sur les multiples du quart de la longueur d’onde. Cela apparaît clairement sur l’analyse du sifflet no 19 (ill. 8 - [données]) où le siffleur a forcé le souffle et passe d’une fréquence correspondant d’un premier multiple de cette demi-longueur d’onde à un second (ill. 9).

sifflet n° 19. © Marie-Barbara Le Gonidec

Ill. 8 : sifflet no 19.
© Marie-Barbara Le Gonidec

Spectrogramme du sifflet n° 19 joué en augmentant le « souffle ». © PHASE, Université de Toulouse

Ill. 9 : Spectrogramme du sifflet no 19 joué en augmentant le « souffle ». Cette augmentation de pression de modérément forte à forte fait apparaître deux fréquences différentes, à environ 2 000 Hz et 3 000 Hz, ce qui suggère la présence d’un mode 2 et d’un mode 3 correspondant à 2c/2L et 3c/2L. Le système lame d’air biseau n’étant manifestement pas optimisé, le mode 1 (c/2L) à 1 000 Hz est clairement présent.
© PHASE, Université de Toulouse

Excitation « comme une flûte » d’un résonateur de Helmholtz. La bouteille bordelaise est un très bon exemple de résonateur de Helmholtz. © PHASE, Université de Toulouse

Ill. 11 : Excitation « comme une flûte » d’un résonateur de Helmholtz. La bouteille bordelaise en est un très bon exemple.
© PHASE, Université de Toulouse

Schéma du résonateur de Helmholtz. © PHASE, Université de Toulouse

Ill. 10 : Schéma du résonateur de Helmholtz. Le volume V, qui peut être percé d’un ou plusieurs trous, doit être grand par rapport au volume du col (le goulot d’un bouteille). La section du volume V doit également être grande par rapport à la section du goulot. Le goulot peut être réduit à la simple expression de la correction de longueur.
© PHASE, Université de Toulouse


Le second mode de fonctionnement est celui des résonateurs de Helmholtz (ill. 10), qui, en résonnant à des fréquences très basses, font apparaître des longueurs d’onde très grandes par rapport à la taille des résonateurs et paradoxalement se rencontrent dans la vie de tous les jours bien plus souvent que les flûtes. Une bouteille vide ou partiellement remplie en est l’exemple le plus simple, et la bouteille de type bordelais particulièrement. Un tel objet, lorsqu’on le fait « sonner » en soufflant doucement sur le goulot (ill. 11), produit un son grave aux environs de 100 hertz. Si on considérait ce même objet d’environ 30 centimètres comme un tuyau de flûte de Pan, on obtiendrait un son d’environ 300 hertz. Le fonctionnement est différent pour une raison simple : la bouteille est essentiellement constituée d’un volume important dont les dimensions sont « grandes » par rapport au goulot. Cela permet de considérer le goulot comme une petite masse d’air mise en mouvement vers l’intérieur de la bouteille par le jet d’air sur le biseau. Cette petite masse d’air (suffisamment petite pour pouvoir se déplacer d’un seul bloc) va rebondir sur le « grand » volume d’air contenu dans la bouteille et l’ensemble constituera un système oscillant constitué d’une masse et d’un ressort4.

Les sifflets, selon leur type dans la classification Hornbostel et Sachs, fonctionnent comme une flûte (résonances géométriques) ou comme un résonateur de Helmholtz. Dans ce dernier cas, les formes des cavités intérieures (cf. radiographies des sifflets no 4 [données], 8 [données], 9 [données] ou encore 17 [données] de l’échantillon) sont incompatibles avec des résonances géométriques bien définies, sauf dans quelques cas particuliers où le sifflet sera une flûte plutôt qu’un sifflet (cf. le sifflet no 19, ill. 8 - [données]). Il semble donc logique de penser à un fonctionnement de type résonateur de Helmholtz. Mais, dans ce cas, il manque une partie essentielle, celle qui correspond au goulot de la bouteille. Sur les flûtes, pour accorder finement celles-ci, il convient de « corriger » la longueur par une correction qui dépend du diamètre du tuyau. Plus généralement lorsqu’un orifice émet un son, la forme de l’onde, à l’intérieur du système, est différente de celle observable à l’extérieur. La fréquence reste la même, l’amplitude change et par exemple dans un tuyau cylindrique se propagent des ondes dites planes et à l’extérieur des ondes dites sphériques. Cette modification du caractère de l’onde ne peut pas se produire instantanément, elle se réalise sur la distance correspondant à la correction (cf. note2) de longueur. Ainsi les résonances de Hemlholtz sont présentes dans toutes les cavités fermées qui possèdent un orifice, par exemple l’embouchure, petit par rapport aux dimensions de la cavité5 : c’est le cas des sifflets. Et la fréquence émise dépendra du volume de la cavité (cf. note4) et non plus du rapport section sur hauteur du goulot, mais du « diamètre » de l’orifice du sifflet6. Un sifflet tel que le no 2 [données] fonctionne donc comme un résonateur de Helmholtz, ce qui donne au fabricant deux paramètres d’accordage, le volume de la cavité et la surface ouverte à l’extérieur, à savoir la lumière du système lame d’air-biseau. Il lui reste à rendre compatibles le résonateur et le système lame d’air-biseau qui va fonctionner suivant une physique qui lui est propre et va également modifier la fréquence de jeu. Néanmoins le champ de liberté en pression est suffisamment large pour que l’instrument fonctionne, plus ou moins bien, soufflé plus ou moins fort. Les spectrogrammes des sons enregistrés pour les sifflets no 2 [données] et no 3 [données] montrent clairement le large champ de liberté de ces deux sifflets (ill. 12 et 13).

Spectrogramme du sifflet n° 2. © PHASE, Université de Toulouse

Ill. 12 : Spectrogramme du sifflet no 2. La modulation très visible sur les harmoniques 2 à 5 met en évidence le champ de liberté important de ce sifflet.
© PHASE, Université de Toulouse

Spectrogramme du sifflet n° 3. © PHASE, Université de Toulouse

Ill. 13 : Spectrogramme du sifflet no 3. La modulation est ici un des éléments du jeu du siffleur.
© PHASE, Université de Toulouse

Les sifflets, dits globulaires dans le catalogue, percés d’un ou plusieurs trous, et pourvus d’une cavité de volume important et de géométrie correspondant peu ou prou au schéma du résonateur de Helmholtz (ill. 10), relèvent du même fonctionnement. Le ou les trous de jeu modifient l’« élasticité » du ressort constitué par le volume, le volume « effectif » diminue et, en conséquence, la fréquence de jeu monte. En revanche, dès que cette cavité présente une dimension plus importante que les autres, constituant un « tuyau » de terre cuite, l’instrument devient une flûte (les sifflets no 5 [données] et no 19 [données] correspondant respectivement aux types 421.221.11 et 421.221.12 chez Hornbostel et Sachs).

Spectrogramme du sifflet n° 26. © PHASE, Université de Toulouse

Ill. 14 : Spectrogramme du sifflet no 26. Le spectrogramme montre une modulation entre 1 600 Hz et 3 500 Hz qui correspond à la perturbation du son aigu (près de 4 000 Hz) produit par le sifflet sans eau, par l’oscillation du volume d’eau ajouté. La fréquence de modulation est d’environ 10Hz (périodique à environ 0,1s). C’est cette modulation qui produit cet effet « rossignol ».
© PHASE, Université de Toulouse

Reste le cas particulier et « rossignolesque » des sifflets à eau. Privés d’eau, ils fonctionneront dans le meilleur des cas comme des sifflets ordinaires ; en revanche, si le fonctionnement du système lame d’air-biseau n’est pas adapté au volume de la cavité, ils resteront muets tant qu’on n’aura pas alimenté leur réservoir. Ce dernier étant rempli d’eau, le jet d’air va avoir deux rôles. Le premier, déjà décrit, lui fera engendrer un son aigu, cependant que le second aura pour effet de créer à l’intérieur de la cavité une oscillation de la masse d’eau qui modulera le son produit à basse fréquence. C’est ce que montre le spectrogramme (ill. 14) correspondant à l’analyse d’un son produit par le sifflet à eau no 26 [données], où une oscillation à environ 2 000 hertz est modulée à environ 10 hertz. C’est cette dernière qui, étant ajustable par le souffle du siffleur, donne cette « roucoulade ».




Vincent Gibiat Laboratoire PHASE, Université de Toulouse

Avec la collaboration de Sandie Le Conte et de Stéphane Vaiedelich,
Laboratoire de la Cité de la musique,
pour les radiographies et les enregistrements sonores
.



Données physiques et sonores des sifflets de l’échantillon

L’échantillon se compose de vingt-six sifflets. Les quatre derniers sont des sifflets à eau. Cet échantillon a été choisi dans l’ensemble d’une collection privée afin d’illustrer la plupart des types de sifflets présents dans les fonds du MuCEM.

Les prises de son ont été les suivantes :

  • jeu d’une courte « mélodie »,
  • hauteur sur une note tenue, trou(s) d’intonation ouvert(s) quand il y en a,
  • hauteur sur note tenue trou(s) fermé(s),
  • variation de l’intensité du souffle.

Les sifflets ont été joués par Pierre Catanès.

Les radiographies et les enregistrements ont été réalisés par le laboratoire du musée de la Cité de la musique en juillet 2012.

Les photographies ont été réalisées au MuCEM.

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sifflet 01

Photos


© Marie-Barbara
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Radios

Stéphane Vaeidelich
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Enregistrement

    

Sandie Le Conte
© Cité de la
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Provenance

France/
Centre/
Henrichemont (Cher)/
La Borne

Dimensions

Poids
1 883,3 g

Hauteur
7,45 cm

Longueur
9,56 cm

Largeur
(ou épaisseur)
6,04 cm,
prise aux
« épaules » ou
départ des ailes

Observation

avec 1 trou de jeu


sifflet 02

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Sandie Le Conte
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Provenance

Pologne/
Voïvodie de
Basse-Silésie/
Bolesławiec

Dimensions

Poids
93,5 g

Hauteur
8,2 cm

Largeur
(ou épaisseur)
5,39 cm

Fenêtre
1,75 cm (haut)
1,03 cm (large)

Observation

avec 1 trou de jeu


sifflet 03

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Sandie Le Conte
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Provenance

France/
Alsace/
Soufflenheim
(Bas-Rhin)

Dimensions

Poids
95,1 g

Hauteur
4,05 cm

Diamètre
6,35 cm

Fenêtre
2,71 cm (haut)
0,83 cm (large)

Observation

avec 1 trou de jeu


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sifflet 04

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Sandie Le Conte
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Provenance

France/
Pays de la Loire/
Prévelles (Sarthe)

Dimensions

Poids
109,1 g

Hauteur
6,62 cm

Largeur
(ou épaisseur)
5,5 cm

Fente
3,2 cm

Observation

avec 1 fente
(sert de tirelire)


sifflet 05

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Sandie Le Conte
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Provenance

Ukraine/
Oblast de Poltava/
Opishne

Dimensions

Poids
194,9 g

Hauteur
9,42 cm

Longueur
10,22 cm

Longueur
corps sans tête
8,38 cm

Largeur
(ou épaisseur)
3,36 cm
(milieu du corps)

Observation

avec 2 trous de jeu


sifflet 06

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Sandie Le Conte
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Provenance

Russie/
Oblast de Kirov/
Kirov

Dimensions

Poids
140,3 g

Hauteur
9,72 cm

Longueur
7,07 cm

Largeur
(ou épaisseur)
4,19 cm

Observation

avec 1 trou de jeu


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sifflet 07

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Stéphane Vaeidelich
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Sandie Le Conte
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Provenance

France/
Pays de la Loire/
Prévelles (Sarthe)

Dimensions

Poids
65,2 g

Hauteur
6,61 cm

Longueur
8,12 cm

Largeur
(ou épaisseur)
4,23 cm

Observation

avec 4 trous de jeu


sifflet 08

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Sandie Le Conte
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Provenance

Portugal/
Minho/
District de Braga/
Barcelos

Dimensions

Poids
82,6 g

Hauteur
8,45 cm

Diamètre
5,3 cm

Longueur
(de l'embouchure
à la paroi)
7,49 cm

Observation

avec 3 trous de jeu


sifflet 09

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Sandie Le Conte
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Provenance

France/
Centre/
Nibelle (Loiret)

Dimensions

Poids
82,4 g

Hauteur
5,09 cm

Longueur
8,32 cm

Largeur
(ou épaisseur)
3,16 cm
(d'une épaule à l'autre)

Observation

avec 1 trou de jeu (oeil droit)


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sifflet 10

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Sandie Le Conte
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Provenance

Ukraine/
Oblast de Poltava/
Opishne

Dimensions

Poids
13,8 g

Hauteur
4,68 cm

Longueur
3,42 cm

Largeur
(ou épaisseur)
1,9 cm

Observation

avec 2 trous de jeu


sifflet 11

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Sandie Le Conte
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Provenance

Roumanie/
Munténie/
Județ d’Ilfov/
Pisc

Dimensions

Poids
58,5 g

Hauteur
6,7 cm

Longueur
4,95 cm

Largeur
(ou épaisseur)
2,13 cm
(à la taille)

Longueur sifflante du
biseau au
« pavillon »
4,95 cm

Observation

sans trou de jeu


sifflet 12

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Sandie Le Conte
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Provenance

Danemark/
Jutland du Nord/
Skørping

Dimensions

Poids
213,5 g

Hauteur
8,24 cm

Longueur
12,6 cm

Largeur
(ou épaisseur)
5,18 cm
(à la croupe)

Observation

sans trou de jeu


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sifflet 13

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Sandie Le Conte
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Provenance

Russie/
Oblast de Tver
(anciennement
oblast de Kalinin)/
Torjok

Dimensions

Poids
310 g

Hauteur
14,69 cm

Longueur
11,84 cm

Largeur
(ou épaisseur)
4,38 cm

Longueur queue
4,54 cm

Épaisseur queue
1,34 cm

Observation

sans trou de jeu


sifflet 14

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Enregistrement

    

Sandie Le Conte
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Provenance

France/
Pays de la Loire/
Malicorne (Sarthe)

Dimensions

Poids
95 g

Hauteur
8,54 cm

Longueur
5,65 cm

Largeur
(ou épaisseur)
3,3 cm

Observation

sans trou de jeu


sifflet 15

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Enregistrement

    

Sandie Le Conte
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Provenance

Espagne/
Baléares

Dimensions

Poids
48 g

Hauteur
4,19 cm

Longueur
5,7 cm

Largeur
(ou épaisseur)
3,1 cm

Tube sifflant
3,03 cm de long
3,15 cm de large

Observation

sans trou de jeu


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sifflet 16

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Enregistrement

    

Sandie Le Conte
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Provenance

Italie/
Abruzzes/
Castelli

Dimensions

Poids
43,1 g

Hauteur
6,84 cm

Longueur
3,89 cm

Largeur
(ou épaisseur)
2,23 cm

Socle
3,9 cm de long
3,15 cm de large

Observation

sans trou de jeu


sifflet 17

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Enregistrement

    

Sandie Le Conte
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Provenance

Bulgarie

Dimensions

Poids
24,8 g

Hauteur
5,9 cm

Longueur
4,8 cm

Largeur
(ou épaisseur)
1,68 cm

Socle
3,54 cm de long
2,02 cm de large

Observation

sans trou de jeu


sifflet 18

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Enregistrement

    

Sandie Le Conte
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Provenance

France/
Centre/
Henrichemont (Cher)/
La Borne

Dimensions

Poids
33,8 g

Longueur
5,52 cm

Largeur
4,31 cm

Épaisseur
2,5 cm

Observation

sans trou de jeu


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sifflet 19

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Enregistrement

    

Sandie Le Conte
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Provenance

Portugal/
Minho/
District de Braga/
Barcelos

Dimensions

Poids
48,3 g

Longueur
15,31 cm

Largeur
(ou épaisseur)
2,3 cm

Diamètre
ouverture
terminale
1,31 cm

Observation

avec 4 trous de jeu


sifflet 20

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Enregistrement

    

Sandie Le Conte
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Provenance

France/
Pays de la Loire/
Prévelles (Sarthe)

Dimensions

Poids
9,3 g

Longueur
4,68 cm

Largeur
(ou épaisseur)
1,32 cm et
1,6 cm

Note

Il ne s'agit pas d'un sifflet mais d'un embout sifflant tel que celui que l'on trouve sur le sifflet à eau no 23.


sifflet 21

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Enregistrement

    

Sandie Le Conte
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Provenance

France/
Alsace/
Soufflenheim
(Bas-Rhin)

Dimensions

Poids
118,8 g

Longueur
8 cm

Largeur
(ou épaisseur)
5,64 cm

Ouverture
3,15 cm

Observation

Enregistré avec
- 30,6 g d'eau
(minimum pour que le bout du conduit soit dans l'eau)
- 50,4 g d'eau
- 64,2 g d'eau
(maximum, niveau de la fenêtre, noyée si plus d'eau)


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sifflet 22

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Enregistrement

    

Sandie Le Conte
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Provenance

France/
Rhône-Alpes/
Dauphiné/
Cliousclat
(Drôme)

Dimensions

Poids
75,5 g

Longueur
5,59 cm

Largeur
(ou épaisseur)
5,09 cm

Ouverture
2,6 cm

Observation

Enregistré avec
- 20,5 g d'eau
- 25 g d'eau
- 32,4 g d'eau


sifflet 23

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Enregistrement

    

Sandie Le Conte
© Cité de la
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Provenance

France/
Pays de la Loire/
Prévelles (Sarthe)

Dimensions

Poids
80,8 g

Hauteur
7,33 cm

Longueur
6,91 cm

Largeur
(ou épaisseur)
4,12 cm

Ouverture
0,68 cm

Observation

Enregistré avec
- 18,6 g d'eau
- 23,2 g d'eau
(l'eau ressort quand on souffle. Pesée après avoir soufflé : 3 g d'eau perdus)


sifflet 24

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Radios

Stéphane Vaeidelich
© Cité de la
    musique

Enregistrement

    

Sandie Le Conte
© Cité de la
    musique

Provenance

Slovénie/
Carniole/
Ljubljana

Dimensions

Poids
107,7 g

Hauteur
6,74 cm

Longueur ou
largeur
6,08 cm

Ouverture
0,94 cm

Observation

Enregistré avec
- 38,9 g d'eau
- 56,7 g d'eau
(Pesée après avoir soufflé : 55,4 g)


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sifflet 25

Photos


© Marie-Barbara
    Le Gonidec

Radios

Stéphane Vaeidelich
© Cité de la
    musique

Enregistrement

    

Sandie Le Conte
© Cité de la
    musique

Provenance

Serbie/
Serbie centrale/
District de Nišava/
Niš

Dimensions

Poids
95,5 g

Hauteur
8,32 cm

Longueur
7 cm

Hauteur du corps
au milieu
3,9 cm

Observation

Enregistré avec
- 28,1 g d'eau
(fonctionne très mal car ouverture insignifiante, très petite et de plus bouchée par du vernis)


sifflet 26

Photos


© Marie-Barbara
    Le Gonidec

Radios

Stéphane Vaeidelich
© Cité de la
    musique

Enregistrement

    

Sandie Le Conte
© Cité de la
    musique

Provenance

Serbie

Dimensions

Poids
49,7 g

Hauteur
6,31 cm

Largeur
(ou épaisseur)
4,3 cm
(prise dans l'axe
opposé à celui
qui fait anse-bec)

Ouverture
1,29 cm

Observation

Enregistré avec
- 22 g d'eau


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1 Ce serait c/4L si la flûte était, comme sur une flûte de Pan, constituée de tuyaux fermés à leur extrémité.

2 Cette correction de longueur est de l’ordre de 0,6 à 0,8 fois le diamètre du tuyau. Elle varie avec la fréquence et dépend donc de la résonance.

3 C’est le rapport de la vitesse de propagation de l’onde c sur la fréquence produite.

4 La fréquence obtenue est : où V est le volume de la bouteille sans le goulot, S la section du goulot et l la longueur du goulot, éventuellement augmentée de la correction de longueur liée au diamètre du goulot (ill. 11).

5 C’est également le cas des violons avec les ouïes et des guitares avec la rosace, où ces orifices renforcent le rayonnement des notes graves en utilisant cette « résonance de Helmholtz ». Les résonateurs de Helmholtz constituent également le seul moyen de corriger les graves d’une salle, par exemple, en introduisant des vases dans les parois.

6 Si l’orifice est un carré de côté a, le calcul du rapport : S/l donne : a2 /(0,8.a) jusqu’à : a2 /(0,6.a), soit une valeur comprise entre a et 2a.